配方解题显身手

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正文：

　　配方法是对数学式子进行一种定向变形——配成“完全平方”的技巧。在解决相关问题时，将目标看成某个变量的二次式，并将其配成一个完全平方与一个常量的代数和的形式，以达到发现和研究问题性质、化繁为简之目的。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换、化简变形等问题。解题时，何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

　　利用“配方”变形、求值

　　例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。

　　A. 2 B. C. 5 D. 6

　　解：设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：。长方体所求对角线长为：===5。所以选B。

　　例2. 已知，化简：

　　解：

　　. ，，

　　原式.

　　利用“配方”求最值、值域

　　例3函数()的最大值为

　　解：，结合二次函数的图象知，当时，函数有最大值，。

　　例4 若，且，则的取值范围为

　　解：由得，又，而，结合二次函数的图象知，此式关于在上递减，故所求的取值范围为。

　　利用“配方”处理不等式、比较大小

　　例5 已知，则不等式①，②，③中一定成立的有

　　解：，①式成立;

　　;②式成立;

　　(当且仅当时取等与号)，③式不一定成立。故填①②。

　　利用“配方”处理曲线方程

　　按向量a 平移，使方程变为，则a

　　解：方程即

　　令，得.由平移公式，a

　　例7 已知是曲线上任一点，求式子的最小值。

　　解：曲线即.它表示一个圆，对应的参数方程为

　　.易知当时，取得最小值